\chapter{欧拉-麦克劳林求和公式的详细推导}
\author{李国斌}
\date{2025年09月06日}
	
	\begin{abstract}
		欧拉-麦克劳林求和公式（Euler–Maclaurin formula）是分析学中一个至关重要的公式，它建立了函数的积分与其求和之间的深刻联系，并提供了一个由该函数的高阶导数和伯努利数表示的渐近展开式。该公式由莱昂哈德·欧拉和科林·麦克劳林独立发现，在数值积分、渐近分析、数论（如欧拉-马歇罗尼常数的研究）等领域有广泛应用。本文旨在从最基础的泰勒展开出发，通过多项式插值和伯努利多项式的性质，一步步详细推导出欧拉-麦克劳林公式的常见形式，并阐述其思想内涵与应用。
		\textbf{关键词}：欧拉-麦克劳林公式；伯努利数；伯努利多项式；求和公式；渐近展开
	\end{abstract}
	
	\section{引言与动机}
	对于一个在区间 $[m, n]$ 上可积的函数 $f(x)$，我们常常希望用求和 $\sum_{k=m}^{n} f(k)$ 来近似积分 $\int_{m}^{n} f(x)  dx$，或者反之。梯形法则是最简单的例子：$\int_{a}^{b} f(x)  dx \approx \frac{(b-a)}{2} [f(a) + f(b)]$。
	
	欧拉-麦克劳林公式极大地推广了这一思想，它提供了一个带有余项的精确等式：
	\[
	\sum_{k=m}^{n} f(k) = \int_{m}^{n} f(x)  dx + \frac{f(m) + f(n)}{2} + \sum_{k=1}^{p} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(m) \right) + R_{p}
	\]
	其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。这个公式的核心在于利用伯努利多项式 $B_k(x)$ 的周期化性质来生成高阶校正项。
	
	\section{预备知识：伯努利数与伯努利多项式}
	\subsection{生成函数定义}
	伯努利数 $B_n$ 最常用其指数生成函数来定义：
	\begin{equation}\label{eq:bernoulli_gen}
		\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!}, \quad (|t| < 2\pi)
	\end{equation}
	由此可计算出前几项伯努利数：
	\begin{align*}
		B_0 &= 1, \quad B_1 = -\frac{1}{2}, \quad B_2 = \frac{1}{6}, \quad B_3 = 0, \\
		B_4 &= -\frac{1}{30}, \quad B_5 = 0, \quad B_6 = \frac{1}{42}, \quad B_7 = 0, \quad B_8 = -\frac{1}{30}, \dots
	\end{align*}
	值得注意的是，所有奇数项伯努利数（除 $B_1$ 外）均为零。
	
	伯努利多项式 $B_n(x)$ 的生成函数定义为：
	\begin{equation}\label{eq:bernoulli_poly_gen}
		\frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}
	\end{equation}
	前几个伯努利多项式为：
	\begin{align*}
		B_0(x) &= 1 \\
		B_1(x) &= x - \frac{1}{2} \\
		B_2(x) &= x^2 - x + \frac{1}{6} \\
		B_3(x) &= x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x \\
		B_4(x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \frac{1}{30}
	\end{align*}
	它们与伯努利数的关系为 $B_n(0) = B_n$（对于 $n \ne 1$），且 $B_n(1) = (-1)^n B_n(0)$。
	
	\subsection{关键性质}
	伯努利多项式是推导欧拉-麦克劳林公式的基石，它们具有两个关键性质：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{差分性质}：
		\begin{equation}\label{eq:diff_prop}
			B_n(x+1) - B_n(x) = n x^{n-1} \quad (n \ge 1)
		\end{equation}
		\item \textbf{导数关系}：
		\begin{equation}\label{eq:derivative_prop}
			\frac{d}{dx} B_n(x) = n B_{n-1}(x) \quad (n \ge 1)
		\end{equation}
	\end{enumerate}
	这些性质可以通过比较生成函数的系数来证明。
	
	\section{公式推导}
	我们的目标是将求和 $\sum_{k=a}^{b} f(k)$ 与积分 $\int_{a}^{b} f(x)  dx$ 联系起来，其中 $a, b$ 为整数，且 $a < b$。
	
	\subsection{第一步：构造并应用分部积分}
	推导的核心技巧是考虑如下形式的积分：
	\[
	I = \int_{0}^{1} f(x)  dx
	\]
	我们希望用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 来表示这个积分。为此，我们引入一个权函数 $P_1(x)$，使得：
	\[
	\int_{0}^{1} f(x)  dx = \left[ P_1(x) f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} P_1(x) f'(x)  dx
	\]
	为了使这个表达式有用，我们希望 $P_1(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上尽可能简单，并且能够吸收 $f'(x)$ 的信息。选择 $P_1(x)$ 满足 $P_1'(x) = -1$，即 $P_1(x) = -x + C$。为了确定常数 $C$，我们要求 $P_1(0) = P_1(1)$，这使得在后续扩展中边界项具有对称性。令 $P_1(0) = P_1(1)$：
	\[
	C = -1 + C \implies \text{这要求 } C = \frac{1}{2}
	\]
	因此，我们定义 $P_1(x) = -x + \frac{1}{2}$。注意到 $P_1(x) = -B_1(x)$，其中 $B_1(x) = x - \frac{1}{2}$ 是第一个伯努利多项式。
	
	于是有：
	\[
	\int_{0}^{1} f(x)  dx = \left[ \left( -x + \frac{1}{2} \right) f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \left( -x + \frac{1}{2} \right) f'(x)  dx = \frac{f(0) + f(1)}{2} + \int_{0}^{1} \left( x - \frac{1}{2} \right) f'(x)  dx
	\]
	现在对右边的积分再次进行分部积分。令 $P_2'(x) = P_1(x) = x - \frac{1}{2}$，则 $P_2(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + D$。我们选择 $D$ 使得 $\int_{0}^{1} P_2(x)  dx = 0$。计算：
	\[
	\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + D \right) dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + Dx \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + D = -\frac{1}{12} + D = 0 \implies D = \frac{1}{12}
	\]
	所以 $P_2(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} = \frac{B_2(x)}{2!}$。继续分部积分过程：
	\begin{align*}
		\int_{0}^{1} f(x)  dx &= \frac{f(0) + f(1)}{2} + \left[ P_2(x) f'(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} P_2(x) f''(x)  dx \\
		&= \frac{f(0) + f(1)}{2} + \frac{B_2}{2!} (f'(1) - f'(0)) - \int_{0}^{1} P_2(x) f''(x)  dx
	\end{align*}
	可以继续这个过程。一般地，定义 $P_k'(x) = P_{k-1}(x)$，并选择积分常数使得 $\int_{0}^{1} P_k(x)  dx = 0$。可以证明 $P_k(x) = \frac{B_k(x)}{k!}$。因此，经过 $p$ 次分部积分后，我们得到：
	\begin{equation}\label{eq:euler_maclaurin_unit}
		\begin{aligned}
			\int_{0}^{1} f(x)  dx = &\frac{f(0) + f(1)}{2} + \sum_{k=2}^{p} \frac{(-1)^k B_k}{k!} \left( f^{(k-1)}(1) - f^{(k-1)}(0) \right) \\
			&+ (-1)^{p+1} \int_{0}^{1} \frac{B_p(x)}{p!} f^{(p)}(x)  dx
		\end{aligned}
	\end{equation}
	注意到 $(-1)^k B_k = B_k$ 对于 $k \ge 2$ 且为偶数时成立（因为 $B_3=B_5=\cdots=0$），但对于 $k=1$ 有 $(-1)^1 B_1 = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$，这正好是第一项。因此，我们可以将求和索引从 $k=1$ 开始，并将 $k=1$ 项理解为 $\frac{B_1}{1!}(f(1)-f(0)) = -\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$，但这会破坏对称性。更常见的写法是利用伯努利数的标准定义（$B_1 = +1/2$ 或 $B_1 = -1/2$）。采用 $B_1 = -1/2$ 的定义，则公式可写为：
	\[
	\int_{0}^{1} f(x)  dx = \frac{f(0) + f(1)}{2} - \sum_{k=1}^{p} \frac{B_{k}}{k!} \left( f^{(k-1)}(1) - f^{(k-1)}(0) \right) + R_p
	\]
	其中 $R_p = \int_{0}^{1} \frac{B_p(x)}{p!} f^{(p)}(x)  dx$。但由于奇数项伯努利数（除 $k=1$）为零，通常只保留偶数阶项，令 $p = 2m$：
	\begin{equation}\label{eq:euler_maclaurin_unit_final}
		\int_{0}^{1} f(x)  dx = \frac{f(0) + f(1)}{2} - \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0) \right) + \int_{0}^{1} \frac{B_{2m}(x)}{(2m)!} f^{(2m)}(x)  dx
	\end{equation}
	
	\subsection{第二步：求和 over intervals}
	将公式 \eqref{eq:euler_maclaurin_unit_final} 应用于每个单位区间 $[k, k+1]$ for $k = a, a+1, \dots, b-1$：
	\[
	\int_{k}^{k+1} f(x)  dx = \frac{f(k) + f(k+1)}{2} - \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(k+1) - f^{(2j-1)}(k) \right) + R_{k,m}
	\]
	其中 $R_{k,m} = \int_{k}^{k+1} \frac{B_{2m}(x - \lfloor x \rfloor)}{(2m)!} f^{(2m)}(x)  dx$。
	
	现在对 $k$ 从 $a$ 到 $b-1$ 求和：
	\begin{align*}
		\int_{a}^{b} f(x)  dx &= \sum_{k=a}^{b-1} \int_{k}^{k+1} f(x)  dx \\
		&= \sum_{k=a}^{b-1} \left[ \frac{f(k) + f(k+1)}{2} \right] - \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \sum_{k=a}^{b-1} \left( f^{(2j-1)}(k+1) - f^{(2j-1)}(k) \right) + \sum_{k=a}^{b-1} R_{k,m} \\
		&= \frac{1}{2}f(a) + \sum_{k=a+1}^{b-1} f(k) + \frac{1}{2}f(b) - \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(b) - f^{(2j-1)}(a) \right) + \sum_{k=a}^{b-1} R_{k,m}
	\end{align*}
	中间的求和是一个望远镜求和。整理后得到：
	\[
	\sum_{k=a+1}^{b-1} f(k) + \frac{f(a) + f(b)}{2} = \int_{a}^{b} f(x)  dx + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(b) - f^{(2j-1)}(a) \right) - \sum_{k=a}^{b-1} R_{k,m}
	\]
	将左边的 $\frac{f(a) + f(b)}{2}$ 移到右边，并将求和索引扩展为 $k=a$ 到 $k=b$（注意两端的项被重复计算了）：
	\[
	\sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_{a}^{b} f(x)  dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(b) - f^{(2j-1)}(a) \right) + R_{m}
	\]
	其中余项 $R_m = - \sum_{k=a}^{b-1} \int_{k}^{k+1} \frac{B_{2m}(x - \lfloor x \rfloor)}{(2m)!} f^{(2m)}(x)  dx = - \int_{a}^{b} \frac{B_{2m}(x - \lfloor x \rfloor)}{(2m)!} f^{(2m)}(x)  dx$。
	
	\section{最终公式}
	因此，我们得到了欧拉-麦克劳林求和公式的常见形式：
	\begin{equation}\label{eq:euler_maclaurin_final}
		\boxed{
			\sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_{a}^{b} f(x)  dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(b) - f^{(2j-1)}(a) \right) + R_{m}
		}
	\end{equation}
	其中余项 $R_m$ 为：
	\[
	R_{m} = -\int_{a}^{b} \frac{B_{2m}(x - \lfloor x \rfloor)}{(2m)!} f^{(2m)}(x)  dx
	\]
	这里 $B_{2m}(x)$ 是周期化的伯努利多项式。如果 $f(x)$ 是足够光滑的函数，且其高阶导数在无穷远处衰减足够快，那么这个余项会随着 $m$ 增大而减小（至少在渐近意义上），从而提供一个有用的渐近展开。
	
	\section{应用示例：调和级数与欧拉常数}
	将公式应用于 $f(x) = 1/x$, $a=1$, $b=n$：
	\begin{align*}
		H_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \\
		&= \int_{1}^{n} \frac{1}{x}  dx + \frac{1/1 + 1/n}{2} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(n) - f^{(2j-1)}(1) \right) + R_m \\
		&= \ln n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( (-1)^{2j-1} \frac{(2j-1)!}{n^{2j}} - (-1)^{2j-1} (2j-1)! \right) + R_m \\
		&= \ln n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{2j} \left( \frac{1}{n^{2j}} - 1 \right) + R_m
	\end{align*}
	整理后得到：
	\[
	H_n = \ln n + \underbrace{\left( \frac{1}{2} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{2j} \right)}_{\gamma \, \text{(的近似)}} + \frac{1}{2n} - \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{2j} \frac{1}{n^{2j}} + R_m
	\]
	这正是欧拉当年用来逼近欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$ 的公式。
	
	\section{结论}
	欧拉-麦克劳林公式的推导巧妙地利用了分部积分和伯努利多项式的特殊性质，将离散的求和与连续的积分及导数联系起来。它不仅是一个强大的理论工具，也为实际计算（如数值积分、级数加速）提供了有效的方法。其推导过程体现了数学中通过引入辅助函数（伯努利多项式）来简化复杂问题的深刻思想。
	